1. 공통 누적 분포 함수 (JCDF)
다변수 분석의 기초는 공통 분포 함수 $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$입니다. 이 함수는 여러 조건이 동시에 만족될 확률을 정의합니다.
$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$
이 공식은 각 변수 $X_i$가 각각의 임계값 $a_i$ 아래에 동시에 위치할 확률을 나타냅니다. 기하학적으로 두 차원에서는 점 $(a, b)$의 왼쪽 아래에 위치한 무한히 확장된 직사각형 내부에 랜덤 쌍 $(X, Y)$가 포함될 확률을 의미합니다.
2. 밀도의 무한소 해석
연속 변수의 경우, 우리는 확률을 다음을 통해 설명합니다: 공통 확률 밀도 함수 (JPDF), $f(x, y)$. 이산적인 경우와 달리, 특정 점에서의 확률은 0입니다. 대신 우리는 무한소 영역을 고려합니다:
- 쌍 $(X, Y)$가 매우 작은 직사각형 내부에 들어갈 확률은 다음과 같습니다:
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$ - 또는 다음과 같이 표현할 수도 있습니다: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$
이로부터 $f(x, y)$는 넓이 카테시안 평면 내 영역에 대한 '밀도'임을 알 수 있습니다.
3. 종속성과 기하학적 제약
확률론에서, 서로 독립적이지 않은 확률 변수들은 종속적이라고 말합니다. 이것은 단순한 대수적 성질만이 아니라, 분포의 정의역 에 자주 드러납니다.
반지름 $R$인 원의 중심이 $(0,0)$인 원 안에서 균일하게 선택된 점 $(X, Y)$를 생각해봅시다. 변수 $X$와 $Y$는 종속적입니다 왜냐하면 $X = x$라는 사실을 알고 있으면 $Y$의 가능한 값 범위가 제한되기 때문입니다.
만약 $X$가 $R$에 가까우면, $Y$는 반드시 0에 가까워야 합니다. 수학적으로, $Y$는 다음과 같이 제약됩니다: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. 이 경계가 공통 밀도 함수가 독립적인 마진 분포로 인수분해되지 못하게 막습니다.